Врахування нелінійних властивостей матеріалів при математичному моделюванні

Abstract

Актуальність та затребуваність аналітичних та чисельно-аналітичних підходів в задачах сучасної теорії пружності, пов’язаних з врахуванням нелінійності матеріалів, не викликає жодних сумнівів. Така поведінка притаманна композиційним матеріалам різних видів (армований бетон, склопластики). Нелінійність має бути врахована, наприклад, при складному навантаженні, впливі зовнішнього середовища, екстремальному згині конструкції та ін. З цієї точки зору дуже важливою для розвитку сучасних технологій проектування і будівництва є розробка аналітичних методів, оскільки вони одразу дозволяють побачити обґрунтовані наближені результати, а також можуть слугувати для перевірки чисельних розрахунків. Автори у своїх попередніх роботах вже розглядали плоскі та просторові задачі з урахуванням геометричної нелінійності. Потрібно зазначити, що запропонований підхід може бути застосований до розв’язання задач, в яких залишкові деформації відіграють значну роль (згин тонких пластин та оболонок). Дуже важливим моментом є верифікація отриманих результатів, оцінка адекватності та точності розроблених методів.. Запропонований А.В. Павленком та розвинутий його учнями підхід багаторазово проходив апробацію на задачах різного рівня складності. Заснований на ідеях асимптотичного інтегрування за малим параметром, що пов’язаний з фізичними характеристиками матеріалу, метод дозволив звести задачі лінійної теорії пружності до послідовного розв’язування задач теорії потенціалу, що є найбільш розвинутим розділом математичної фізики. Застосування даного підходу дає змогу розв’язати ряд нових складних задач, серед переваг можна вказати і можливість аналізувати напружено-де-формований стан багатошарових тіл з підкріплюючими елементами. В запропонованій статті за допомогою розробленого авторами підходу розв’язуються задачі для фізично нелінійних матеріалів, в яких закони деформування не відповідають закону Гука, тобто залежність між напружен-нями та деформаціями є нелінійною. Крім того, враховується циліндрична анізотропія матеріалу тіл взаємодії. The relevance and demand of analytical and numerical-analytical approaches in the problems of the modern theory of elasticity, related to taking into account the nonlinearity of materials, does not cause any doubts. This behavior is characteristic of composite materials of various types (reinforced concrete, fiberglass). Non-linearity must be taken intoaccount, for example, with complex loading, the influence of the external environment, extreme bending of the structure,etc. From this point of view, the development of analytical methods is very important for the development of modern design and construction technologies, as they immediately allow you to see reasonable approximate results, and can also serve to check numerical calculations.The authors in their previous works already considered planar and spatial problems taking into account geometric nonlinearity. It should be noted that the proposed approach can be applied to solving problems in which residual deformations play a significant role (bending of thin plates and shells). A very important point is the verificationof the obtained results, assessment of the adequacy and accuracy of the developed methods. The authors of the work always paid special attention to these issues. Proposed by A.V. Pavlenko and the approach developed by his students has been repeatedly tested on problems of different levels of complexity. Based on the ideas of asymptotic integration for a small parameter related to the physical characteristics of the material, the method made it possible to reduce the problems of the linear theory of elasticity to the sequential solution of the problems of the potential theory, which is the most developed branch of mathematical physics. The application of this approach makes it possible to solve a number of new complex problems, among the advantages it is possible to specify the possibility of analyzing the stress-strain state of multilayer bodies with reinforcing elements.In the proposed article, using the approach developed by the authors, problems are solved for physically nonlinear materials in which the laws of deformation do not correspond to Hooke's law, that is, the dependence between stresses and deformations is nonlinear. In addition, the cylindrical anisotropy of the material of the interaction bodies is taken into account