Numerical method for solving the Stefan problem with explicit isolation of phase boundaries in a multiphase diffusion system

Abstract

This work is devoted to the Stefan problem, to which problems of heat transfer with a liquid-solid phase transition and diffusion mass transfer with phase transformations in a solid (decomposition of solid solutions, deposition of diffusion coatings) are reduced. The features of numerical modeling of the Stefan problem in multiphase systems are considered. The possibilities and shortcomings of existing numerical methods for solving this problem are analyzed. A new numerical method for solving the Stefan problem in multiphase systems is proposed. This method is based on an implicit finite difference scheme and employs a nonlinear function approximation of the diffusant gradient directly at the moving phase interfaces. It is shown that this method helps to minimize the error in calculating the concentration gradient at the moving phase interfaces, where the grid function undergoes a first-order discontinuity, significantly simplifying the numerical solution algo-rithm for this problem. A comparison of the proposed algorithm with existing numerical methods was carried out on a model problem of reactive diffusion in a solid, which is a Stefan problem in multiphase systems, using boundary and initial conditions that allow for its analytical solution. Дана робота присвячена проблемі Стефана, до якої зводяться завдання теплопереносу з фазовим переходом рідина - тверде тіло і дифузійного масопереносу з фазовими перетворен-нями в твердому тілі (розпад твердих розчинів, нанесення дифузійних покриттів). Розглянуто особливості чисельного моделювання задачі Стефана в багатофазних системах. Проаналізовано можливості та недоліки існуючих чисельних методів вирішення цього завдання. Запропоновано новий чисельний метод розрахунку задачі Стефана в багатофазних ди-фузійних системах, який ґрунтується на неявній різницевій схемі. Метод використовує апрок-симацію градієнта дифузанта нелінійною функцією безпосередньо біля рухомих міжфазних границь. Наведено, що цей метод сприяє мінімізації помилки розрахунку градієнта концентра-ції на рухливих міжфазних границях, де сіткова функція зазнає розрив першого роду. Це істо-тно впливає на точність розрахунку руху між фазних границь, що має суттєве значення при розв’язанні задач Стефана в багатофазних системах. Порівняння запропонованого алгоритму з існуючими чисельними методами проводилося на модельній задачі реакційної дифузії в твердому тілі, що є задачею Стефана в багатофазних системах, з використанням граничних і початкових умов, які допускають її аналітичне рішення. Наведено, що реальний розподіл концентрації елемента насичення в усіх шарах фаз ди-фузійного покриття є функцією, подібною erf-функції від координат. Внаслідок цього, при об-численні градієнтів концентрації на рухомих границях розділу фаз, при використанні лінійної апроксимації похідних, на кожному кроці за часом виникає помилка. Ця помилка є системною і неминучою під час рішення задачі Стефана чисельними методами з явним виділенням границі фаз. Помилка обчислення градієнтів носить постійний характер, що призводить до системно-го збільшення швидкості руху границі на кожному часовому кроці розрахунку. Розроблено спосіб мінімізації помилки апроксимації градієнта з використанням нелі-нійної апроксимуючої erf-функції, який дозволяє збільшити точність апроксимації градієнту до порядку (h2, τ ).