Математичне моделювання в задачах з врахуванням скінченних деформацій

Abstract

Врахування нелінійних властивостей матеріалу значно ускладнює розв’язання задач теорії пружності та в’язкопружності, але, одночасно, наближає математичну модель до реальної постановки задачі з практики. Геометрично нелінійна теорія пружності містить в собі деякі особливості, завдяки яким вона відрізняється від класичної (лінійної) теорії. Головна відмінність складається в тому, що в нелінійній теорії враховується різниця між геометрією недеформованого та деформованого станів. Метою представленої роботи є узагальнення метода збурень на випадок матеріалів, що вимагають врахування скінченних деформацій. Запропонований підхід дозволяє звести задачі геометрично нелінійної теорії пружності (в плоскій та просторовій постановці) до послідовного розв’язання крайових задач теорії потенціалу. Незважаючи на значні досягнення математичної теорії пружності, її можливості значно нижче того рівня, що досягла теорія потенціалу. Розв’язки багатьох важливих для практики задач, що виникають у сучасній техніці, не можуть бути отримані традиційними методами теорії аналітичних функцій або за допомогою інтегральних перетворень. Це відноситься, наприклад, до контактних задач, в яких враховується скінченні розміри області хоча б в одному напрямку або досліджуються середовища з криволінійною анізотропією тощо.

Taking into account the nonlinear properties of the material significantly complicates the solution of the problems of the theory of elasticity and viscoelasticity, but at the same time, it brings the mathematical model closer to the real formulation of the problem in practice. The geometrically nonlinear theory of elasticity contains some features that make it different from the classical (linear) theory. The main difference is that the nonlinear theory takes into account the difference between the geometry of the unreformed and deformed states. The purpose of the presented work is to generalize the perturbation method to the case of materials requiring consideration of finite deformations. The proposed approach makes it possible to reduce the problems of the geometrically nonlinear theory of elasticity (in the plane and spatial formulation) to the sequential solution of the boundary value problems of the potential theory. Despite the significant achievements of the mathematical theory of elasticity, its capabilities are much lower than the level reached by the potential theory. Solutions to many problems that are important for practice that arise in modern technology cannot be obtained by traditional methods of the theory of analytical functions or by means of integral transformations. This applies, for example, to contact problems in which the finite dimensions of the region are taken into account in at least one direction, or media with curvilinear anisotropy are studied, etc.