Спрощення методів чисельного моделювання задачі Стефана з явним виділенням границь розділу ф

Abstract

З розвитком комп'ютерних технологій та прогресом у галузі моделювання фізичних і хімічних процесів, особливої актуальності набувають методи підвищення точності, а також спрощення алгоритмів та методів розрахунку математичних моделей. Ця робота присвячена задачі Стефана, до якої зведені задачі теплопередачі з фазовим переходом рідина-тверде тіло та дифузійного масообміну з фазовими перетвореннями у твердому тілі (розклад твердих розчинів, осадження дифузійних захисних покриттів). Розглянуто особливості чисельного моделювання задачі Стефана в багатофазних системах. Проаналізовано можливості та недоліки існуючих чисельних методів вирішення цієї задачі. Запропоновано три нові методи з виділенням рухомих міжфазних меж, на яких сіткова функція зазнає розриву першого роду, що значно спрощує алгоритм чисельного розв'язання цієї задачі. Порівняння запропонованих алгоритмів між собою та з існуючими чисельними методами проведено на модельній задачі реакційної дифузії у твердому тілі, якою є задача Стефана в багатофазних системах, з використанням граничних та початкових умов, що дозволяють її аналітично розв'язати. Моделювання двох існуючих та трьох запропонованих методів показує, що а) метод рівноважної концентрації призводить до значних похибок на ранніх стадіях процесу дифузії. Але з часом загальні властивості процесів дифузії призводять до зменшення цих похибок. Тому цей метод пропонується для розрахунку кінцевого стану довготривалих процесів дифузії; б) методи лінійної інтерполяції та збереженого градієнта на практиці не поступаються за точністю загальноприйнятим методам і можуть бути використані для розв'язання задач Стефана в багатовимірній багатофазній обстановці. With the development of computer technology and progress in the field of modeling physical and chemical processes, methods of increasing the accuracy, as well as simplifying the algorithms and methods for calculating mathematical models, become Especially relevant. This work is devoted to the Stefan problem, to which the problems of heat transfer with a liquid-solid phase transition and diffusion mass transfer with phase transformations in a solid (decomposition of solid solutions, deposition of diffusion protective coatings) are reduced. The features of numerical modeling of the Stefan problem in multiphase systems are considered. The possibilities and disadvantages of existing numerical methods for solving this problem are analyzed. Three new methods are proposed with the allocate of moving interphase boundaries, on which the grid function suffers a discontinuity of the first kind, which greatly simplify the algorithm for the numerical solution of this problem. The comparison of the proposed algorithms with each other and with existing numerical methods has been carried out on a model problem of reaction diffusion in a solid, which is the Stefan problem in multiphase systems by using boundary and initial conditions that allow its analytical solution. The simulation of two existing and three proposed methods shows that a) the equilibrium concentration method leads to significant errors in the early stages of the diffusion process. But over time, the general properties of diffusion processes lead to a reduction of these errors. Therefore, this method is proposed to calculate the final state of long-term diffusion processes; b) methods of linear interpolation and conserved gradient in practice are not inferior in accuracy to generally accepted methods and can be used to solve the Stefan problems in a multidimensional multiphase setting. .